题目内容
【题目】已知f(x)=xlnx,g(x)=﹣x2+ax﹣3.
(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)证明:对一切x∈(0,+∞),都有lnx> ﹣
成立.
【答案】
(1)解:f(x)=xlnx,
∴f'(x)=lnx+1
当x∈(0, ),f′(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈( ,+∞),f′(x)>0,f(x)单调递增
①0<t< 时,f(x)min=f(
)=﹣
;
② ≤t时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt;
∴f(x)min=
(2)解:2f(x)≥g(x)恒成立,
∴a≤x+ +2lnx恒成立,
令h(x)=x+2lnx+ ,
则h'(x)=1+ ﹣
=
,
由h'(x)=0,得x1=﹣3,x2=1,
x∈(0,1)时,h'(x)<0;
x∈(1,+∞)时,h'(x)>0.
∴x=1时,h(x)min=1+0+3=4.
∴a≤4.
∴实数a的取值范围是(﹣∞,4]
(3)证明:对一切x∈(0,+∞),都有lnx> ﹣
成立,
∴xlnx> ﹣
,
∴f(x)> ﹣
,
由(1)可知f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是﹣ ,当且仅当x=
时取到.
设m(x)= ﹣
,(x∈(0,+∞)),则m′(x)=
,
∵x∈(0,1)时,m′(x)>0,
x∈(1,+∞)时,m′(x)<0,
∴m(x)max=m(1)=﹣ ,
从而对一切x∈(0,+∞),lnx> ﹣
成立
【解析】(1)求出导函数f'(x)=lnx+1,对x分别讨论,得出导函数的正负区间,根据函数单调性分别讨论t的范围,求出函数的最小值;(2)不等式整理为a≤x+ +2lnx恒成立,只需求出右式的最小值即可,构造函数h(x)=x+2lnx+
,利用求导的方法得出函数的最小值;(3)根据不等式的形式可得f(x)>
﹣
,只需使f(x)的最小值大于右式的最大值即可,构造函数m(x)=
﹣
,利用求导得出函数的最大值.
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