题目内容
【题目】已知函数
是有如下性质：如果常数
，那么该函数在
上是减函数，在
上是增函数．
（1）如果函数
的值域为
，求b的值；
（2）研究函数
（常数
）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数
（n是正整数）在区间
上的最大值和最小值．（可利用你的研究结论）
【答案】（1）
；（2）答案不唯一，详见解析；理由见解析；（3）单调性见解析，最大值
；最小值
．
【解析】
（1）根据已知函数的性质，即可求出最小值且为6，建立
的方程，求解即可；
（2）函数
为偶函数，先研究在
的单调性，根据单调性的定义可得出结论，再利用偶函数的对称性，得出在的单调性；
（3）把函数推广为
（常数
），其中n是正整数，结合对勾函数单调性，得出函数在上的单调区间，再对
的奇偶数，函数的奇偶性的分类讨论，利用对称关系，得到上的单调区间.将
用二项展开式定理展开，按两项积为定值分组，利用单调性，即可求出最值.
（1）函数
的最小值是
，
则
，∴．
（2）设
，
．
当
时，
，函数在
上是增函数；
当
时，
，函数在
上是减函数．
又是偶函数，于是，该函数在
上是减函数，
在
上是增函数．
（3）可以把函数推广为（常数），其中n是正整数．
当n是奇数时，，函数为奇函数，
在
上是减函数，在
上是增函数；
在
上是增函数，在
上是减函数．
当n是偶数时，函数是偶函数，
在上是减函数，在上是增函数；
在上是减函数，在上是增函数．
．
因此，在
上是减函数，在
上是增函数．
所以，当
或
时，取得最大值；
当
时，取得最小值．
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