Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，短轴长为2，直线l与椭圆有且只有一个公共点.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在以原点O为圆心的圆满足：此圆与直线l相交于P，Q两点（两点均不在坐标轴上），且OP，OQ的斜率之积为定值，若存在，求出此定值和圆的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；定值，圆

【解析】

（1）首先根据题意列出方程组，再解方程组即可得到答案.

（2）首先假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为，分别讨论斜率存在和斜率不存在的情况，让直线和椭圆，直线与圆联立，利用韦达定理计算即可得到答案.

（1）设椭圆的焦距为，

由题意得：，解得.

所以椭圆的方程为；

（2）结论：存在符合条件的圆，此圆的方程为，

直线，的斜率之积为定值.

证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为.

当直线的斜率存在时，设直线，设，

由，解得，

因为直线l与椭圆有且只有一个公共点，

所以，

所以

由得，

所以

所以

要使为定值（与无关），则，即.

所以当圆的方程为，圆与直线相交于两点，

直线，的斜率之积为定值.

当直线的斜率不存在时，直线为，此圆与直线相交于.

此时，，满足，

综上所述，存在满足条件的圆，

此圆与直线相交于两点（两点均不在坐标轴上），

且，的斜率之积为定值.