题目内容
【题目】已知函数
.
（1）当
时，求函数
的最大值；
（2）函数
与
轴交于两点
且
，证明：
.
【答案】（1） 函数的最大值为-1;（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）当
时，求函数的导数，并求定义域内的极值点，判断极值点两侧的单调性，得到函数的最大值；（2）利用点差法得到
，再求函数的导数，并且代入求
，初步化简后采用分析法证明
，当证明到
，根据
，
，经过换元设
，转化为关于
的函数，利用导数证明函的单调性，求函数的最小值，得到不等式的证明.
试题解析：（1）当
时，
，求导得
，很据定义域，容易得到在
处取得最大值，得到函数的最大值为-1.
（2）根据条件得到
，
，
两式相减得
，
得
因为
得
因为
，所以
，要证
即证
即证，即证
设
，原式即证
，即证
构造
求导很容易发现为负，
单调减，所以
得证
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