题目内容

【题目】集合,对于正整数m,集合S的任一m元子集中必有一个数为另外m-1个数乘积的约数.则m的最小可能值为__________

【答案】26

【解析】

所有不大于100的素数共有25个,记其构成的组合为

T={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97}.

注意到,集合T中每一个元素均不能被T中其余24个元素之积整除.

.

另一方面,用反证法证明:对于集合S的任一26元子集,其中必有一个数为另外25个数乘积的约数.

为叙述方便,对于素数p和正整数x,记表示x中缩含p的幂指数.

若存在集合S的某个26元子集A,对每个,x均不整除集合A中其余25个数乘积,则对每个,存在x的素因子p,使得,称这样的素数p为x的特异素因子,这种特异素因子不是唯一的.

由于,且所有特异素因子均属于集合S,而集合S中只有25个素数,故必有集合A的两个不同元素x、y具有同一个特异素因子p.

由特异性及,知.

类似地,,矛盾.

综上,m的最小可能值为26.

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