题目内容
【题目】集合
，对于正整数m，集合S的任一m元子集中必有一个数为另外m-1个数乘积的约数.则m的最小可能值为__________。
【答案】26
【解析】
所有不大于100的素数共有25个，记其构成的组合为
T=｛2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97｝.
注意到，集合T中每一个元素均不能被T中其余24个元素之积整除.
故
.
另一方面，用反证法证明：对于集合S的任一26元子集，其中必有一个数为另外25个数乘积的约数.
为叙述方便，对于素数p和正整数x，记
表示x中缩含p的幂指数.
若存在集合S的某个26元子集A，对每个
，x均不整除集合A中其余25个数乘积，则对每个，存在x的素因子p，使得
，称这样的素数p为x的特异素因子，这种特异素因子不是唯一的.
由于
，且所有特异素因子均属于集合S，而集合S中只有25个素数，故必有集合A的两个不同元素x、y具有同一个特异素因子p.
由特异性及
，知
.
类似地，
，矛盾.
综上，m的最小可能值为26.
练习册系列答案
53天天练系列答案
相关题目
