题目内容
【题目】已知椭圆离心率为,且与双曲线
有相同焦点.
(1)求椭圆标准方程;
(2)过点的直线
与椭圆交于
、
两点,原点
在以
为直径的圆上,求直线
的方程.
【答案】(1);(2)
或
.
【解析】
(1)设所求椭圆的标准方程为,焦距为
,求出双曲线
的焦点坐标,根据题意求出
、
、
的值,即可得出椭圆的标准方程;
(2)设直线的方程为
,设点
、
,将直线
的方程与椭圆方程联立,列出韦达定理,由题意得出
,可得出
,利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理求出
的值,即可求得直线
的方程.
(1)设所求椭圆的标准方程为,焦距为
,
双曲线的标准方程为
,
其焦点为
,则椭圆中
,
又椭圆的离心率为
,
,
,
因此,椭圆标准方程为;
(2)若直线的斜率为零,则直线
与
轴重合,此时点
、
,
此时,以为直径的圆的圆心为坐标原点
,不合乎题意;
设直线的方程为
,设点
、
,
联立,消去
并整理得
,
,
由韦达定理得,
,
由题意知,即
,解得
,
所以,直线的方程为
或
,即
或
.
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