Question

【题目】如图所示，椭圆，、，为椭圆的左、右顶点．

设为椭圆的左焦点，证明:当且仅当椭圆上的点在椭圆的左、右顶点时，取得最小值与最大值．

若椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为，求椭圆的标准方程．

若直线与中所述椭圆相交于、两点（、不是左、右顶点），且满足，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】见解析；；见解析，.

【解析】

设点的坐标为，令，由点在椭圆上，得，

则，代入式子，利用二次函数的性质和的取值范围，求出函数的最值以及对应的的取值，即可求证；

由已知与，得， ，解得，，再由求出，进而求出椭圆的标准方程；

假设存在满足条件的直线，设，，联立直线方程和椭圆方程进行整理，化简出一元二次方程，再利用韦达定理列出方程组，根据题意得,代入列出关于的方程，进行化简求解.

设点的坐标为，令．

由点在椭圆上，得，

则，代入，

得，

其对称轴方程为，

由题意，知恒成立，

在区间上单调递增．

当且仅当椭圆上的点在椭圆的左、右顶点时，取得最小值与最大值．

由已知与，得， ，

，．．

椭圆的标准方程为．

如图所示，设，，

联立，得，

则

则

椭圆的右顶点为，，，

，

即．

．

，

解得，，且均满足．

当时，l的方程为直线过定点，与已知矛盾．

当时，l的方程为直线过定点，满足题意，

直线l过定点，定点坐标为．