题目内容
【题目】已知点与两个定点
距离的比是一个正数
.
(1)求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;
(2)当时得曲线
的方程,把曲线
向左平移三个单位长度得到曲线
,已知点
,
,点
是曲线
上任意一点,求
的最小值;
(3)若直线与曲线
交于C、D两点,点
是x轴上的点,使得
恒为定值,求点P的坐标和定值.
【答案】(1)当时,
,此时轨迹为
轴所在的直线;
当时,可得:
,此时轨迹为以
为圆心,
为半径的圆;
(2);(3)点P的坐标
,定值为
.
【解析】
(1)由题意得:, 对其化简,分
与
进行讨论可得答案;
(2)代入可得曲线
的方程,由题意可得曲线
的方程,点
的坐标为
,可得
与
,由平面向量和三角函数知识,可得
的最小值;
(3)设C、D两点坐标,
,即
,
,联立直线与圆,
用
与
表示,由
恒为定值,可得
的值,可得答案.
解:(1)由题意得:,
化简可得:,
当时,
,此时轨迹为
轴所在的直线;
当时,可得:
,
此时轨迹为以为圆心,
为半径的圆;
(2)时,可得曲线
的方程为:
,
由曲线向左平移三个单位长度得到曲线
,可得
的方程为:
,
点的坐标为
,由点
,
,
可得,
,
故可得:
,其中
,
可得的最小值为:
;
(3)由(2)可得曲线的方程为:
,
由直线与曲线
交于C、D两点,设C、D两点坐标
,
,
即,
,
联立直线与圆
,可得
可得:,
,
由点,可得
,
,
可得:,
可得,
由恒为定值,故
与
的值无关,故可得
点P的坐标,定值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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