题目内容
【题目】已知直线
与抛物线
相切，且与
轴的交点为
，点
.若动点
与两定点
所构成三角形的周长为6．
(Ⅰ) 求动点
的轨迹
的方程；
(Ⅱ) 设斜率为
的直线
交曲线
于
两点，当
，且
位于直线
的两侧时，证明： 
.
【答案】(Ⅰ) 
（
）;(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ先由判别式为零可得
的值，再根据三角形周长可得
进而由椭圆定义可得方程；（Ⅱ）设直线
方程
，联立
得
，根据直线斜率公式及韦达定理利用分析法证明
即可.
试题解析：(Ⅰ) 因为直线
与抛物线
相切，所以方程
有等根，
则
，即
，所以
．
又因为动点
与定点
所构成的三角形周长为6,且
，
所以
根据椭圆的定义，动点
在以
为焦点的椭圆上，且不在
轴上，
所以
，得
，则
，
即曲线
的方程为
（
）.
(Ⅱ)设直线
方程
，联立
得
，
△=-3
+12>0，所以
， 此时直线
与曲线
有两个交点
, 
，
设
， 
，则
， 
∵
，不妨取
，
要证明
恒成立，即证明
，
即证
，也就是要证
即证
由韦达定理所得结论可得此式子显然成立，
所以
成立.
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