题目内容
【题目】已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)+2x>0的解集为(1,3).
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)的最大值为正数,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:依题意可设f(x)+2x=a(x﹣1)(x﹣3)
即a(x﹣1)(x﹣3)>0的解集为(1,3)
∴a<0,f(x)=ax2﹣2(2a+1)x+3a
又方程f(x)+6a=0有两个相等的实根,
∴ax2﹣2(2a+1)+9a=0有两相等实根
∴△=4(2a+1)2﹣36a2=0
∴ (a=1舍去)
(2)解: >0
∵a<0
∴a2+4a+1>0
故
【解析】(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根,结合不等式的解集,利用待定系数法进行求解即可求f(x)的解析式;(2)根据二次函数的性质进行求解.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识,掌握当时,抛物线开口向上,函数在
上递减,在
上递增;当
时,抛物线开口向下,函数在
上递增,在
上递减.
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