Question

【题目】已知点在抛物线上，且到抛物线的焦点的距离等于2.

求抛物线的方程；

若直线与抛物线相交于两点，且为坐标原点），求证直线恒过轴上的某定点，并求出该定点坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）由抛物线的定义，可知，代入即可求解抛物线的标准方程；

证明：当直线的斜率不存在时，设，求得点坐标，代入即可求解的值，当直线的斜率存在时，设直线，代入抛物线的方程，由韦达定理得到

，再由，即，根据向量的数量积的坐标运算，求得和的关系，代入直线方程，即可判定直线过定点．

试题解析：

（1）∵点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离等于2.

∴∴，∴抛物线的方程为

（2）证明：当直线的斜率不存在时，设与抛物线第一象限交于点，

∵，∴，代入整理得，解得，

∴故直线恒过定点

当直线的斜率存在时，设直线

联立得

依题意有，则韦达定理可知： ①

∵， ，∴，即

将①代入化简得，故，此时直线

直线恒过轴上的定点.