Question

【题目】（本小题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为4．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点A（1，0）的直线与椭圆C交于点M, N,设P为椭圆上一点，且O为坐标原点，当时，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先利用离心率、、四边形的面积列出方程，解出a和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，讨论直线MN的斜率是否存在，当直线MN的斜率存在时，直线方程与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理，得到、，利用列出方程，解出，代入到椭圆上，得到的值，再利用，计算出的范围，代入到的表达式中，得到t的取值范围．

试题解析：（1），，即．

又，．

∴椭圆C的标准方程为．

（2）由题意知，当直线MN斜率存在时，

设直线方程为，，

联立方程消去y得，

因为直线与椭圆交于两点，

所以恒成立，

，

又，

因为点P在椭圆上，所以，

即，

又，

即，整理得：，

化简得：，解得或（舍），

，即．

当直线MN的斜率不存在时，，此时，

．