题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)设函数,讨论
的单调性;
(2)设函数,若
的图象与
的图象有
,
两个不同的交点,证明:
.
【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)证明见解析
【解析】
(1)求出的表达式并求导,分类讨论
的单调性;(2)由题意可得
有两个不同的根,则
①,
②, 消去参数
得
,构造函数
求导研究函数单调性并利用放缩法推出
,再次构造函数
,通过证明
来证明
.
(1),定义域为
,
.
当时,
在
上单调递增,在
上单调递减.
当时,令
,得
,所以
在
,
上单调递增;
令,得
,所以
在
上单调递减.
当时,
,
在
上单调递增.
当时,令
,得
,所以
在
,
上单调递增;
令,得
,所以
在
上单调递减.
(2),
因为函数的图象与
的图象有两个不同的交点,
所以关于的方程
,即
有两个不同的根.
由题知①,
②,
①+②得③,
②-①得④.
由③,④得,不妨设
,记
.
令,则
,
所以在
上单调递增,所以
,
则,即
,所以
.
因为
所以,即
.
令,则
在
上单调递增.
又,所以
,
即,所以
.
两边同时取对数可得,得证.

练习册系列答案
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【题目】生男生女都一样,女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想,头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿,现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中,头胎为女孩的频率为0.5,生二孩的频率为0.525,其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.
(1)完成下列列联表,并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关;
生二孩 | 不生二孩 | 合计 | |
头胎为女孩 | 60 | ||
头胎为男孩 | |||
合计 | 200 |
(2)在抽取的200户家庭的样本中,按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户,进一步了解情况,在抽取的7户中再随机抽取4户,求抽到的头胎是女孩的家庭户数的分布列及数学期望.
附:
0.15 | 0.05 | 0.01 | 0.001 | |
2.072 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(其中
).