题目内容
【题目】设函数.
(1)若函数在
上为减函数,求实数
的最小值;
(2)若存在,使
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)最小值为.(2)
【解析】
(1)根据题意,确定函数定义域,然后求导,若函数在
上为减函数,则
在
上恒成立,转化不等式为
,令
,求解
的最小值,则
,即可求解参数最值.
(2)问题等价于当时,有
,通过讨论
的范围,得到函数的单调区间,从而求出
的具体范围即可.
(1)由已知得的定义域
,
∵在
上为减函数,
∴在
上恒成立,
,
令,故当
,即
时,
的最小值为
,∴
,即
∴
的最小值为
.
(2)命题“若存在,使
成立”,
等价于“当时,有
”,
由(1)知,当时,
,
,
,
,
问题等价于:“当时,有
”,
①当,即
时,由(1),
在
上为减函数,
则.
②当,即
时,
,
∵,由复合函数的单调性知
在
上为增函数,
∴存在唯,使
且满足:
,
要使,
与矛盾,∴
不合题意.
综上,实数的取值范围为
.

【题目】李克强总理在2018年政府工作报告指出,要加快建设创新型国家,把握世界新一轮科技革命和产业变革大势,深入实施创新驱动发展战略,不断增强经济创新力和竞争力.某手机生产企业积极响应政府号召,大力研发新产品,争创世界名牌.为了对研发的一批最新款手机进行合理定价,将该款手机按事先拟定的价格进行试销,得到一组销售数据,如表所示:
单价 | ||||||
销量 |
已知.
(1)若变量具有线性相关关系,求产品销量
(百件)关于试销单价
(千元)的线性回归方程
;
(2)用(1)中所求的线性回归方程得到与对应的产品销量的估计值
.当销售数据
对应的残差的绝对值
时,则将销售数据
称为一个“好数据”.现从
个销售数据中任取
个子,求“好数据”个数
的分布列和数学期望
.
(参考公式:线性回归方程中的估计值分别为
.
【题目】武汉有“九省通衢”之称,也称为“江城”,是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.
(1)为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况,从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人,制成了如图的频率分布直方图:
现从年龄在内的游客中,采用分层抽样的方法抽取10人,再从抽取的10人中随机抽取4人,记4人中年龄在
内的人数为
,求
;
(2)为了给游客提供更舒适的旅游体验,该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量
(单位:万人)都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表:
劳动节当日客流量 | |||
频数(年) | 2 | 4 | 4 |
以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率,且每年劳动节当日客流量相互独立.
该游船中心希望投入的型游船尽可能被充分利用,但每年劳动节当日
型游船最多使用量(单位:艘)要受当日客流量
(单位:万人)的影响,其关联关系如下表:
劳动节当日客流量 | |||
| 1 | 2 | 3 |
若某艘型游船在劳动节当日被投入且被使用,则游船中心当日可获得利润3万元;若某艘
型游船劳动节当日被投入却不被使用,则游船中心当日亏损0.5万元.记
(单位:万元)表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润,
的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大,问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘
型游船才能使其当日获得的总利润最大?