题目内容

【题目】已知函数.

1)当时,求曲线在点处的切线方程;

2)若,求证:.

【答案】(1); (2)见解析

【解析】

1)代入,可得的解析式.求得导函数,即可得直线方程的斜率,求得点坐标后,由点斜式即可求得切线方程.

2)根据放缩法,.从而证明即可.构造函数,通过求得导函数,再令,求得.即可判断的单调性,进而求得的零点所在区间,并判断出该零点为的极小值点,求得在该点的最小值,即证明不等式成立.

1)当,

所以

所以,又因为,即点坐标为

所以曲线在点处的切线方程为

2)证明:当,,

要证明,需证明,

,,

,,

所以函数上单调递增,

因为,,

所以函数上有唯一零点,,

因为,所以,,

,;当,,

所以当,取得最小值,

,

综上可知,,.

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