题目内容
【题目】已知圆经过点
,且圆心在直线
:
上.
(1)求圆的方程;
(2)过点的直线与圆
交于
两点,问在直线
上是否存在定点
,使得
恒成立?若存在,请求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)在直线
上存在定点
,使得
恒成立,详见解析
【解析】
(1)求出弦中垂线方程,由中垂线和直线
相交得圆心坐标,再求出圆半径,从而得圆标准方程;
(2)直线斜率存在时,设方程为,代入圆的方程,得
的一元二次方程,同时设交点为
由韦达定理得
,假设定点存在,设其为
,由
求得
,再验证所作直线斜率不存在时,
点也满足题意.
(1)的中点为
,∴
的垂直平分线的斜率为
,
∴的垂直平分线的方程为
,∴
的垂直平分线与直线
交点为圆心
,则
,解得
,
又.
∴ 圆的方程为
.
(2)当直线的斜率存在时,设直线的斜率为,则过点
的直线方程为
,故
由,整理得
,
设,
设,则
,
,
,
即
,
当斜率不存在时,成立,
∴在直线上存在定点
,使得
恒成立
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