Question

15．已知平面上一定点C（2，O）和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且（$\overrightarrow{PC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PQ}$）•（$\overrightarrow{PC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PQ}$）=0．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若EF为圆N：x²+（y-1）²=1的任一条直径，求$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量数量积的运算性质，得4$|\overrightarrow{PC}{|}^{2}=|\overrightarrow{PQ}{|}^{2}$．设P（x，y），则Q（8，y），运用距离公式化简可得3x²+4y²=48，整理得$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，由此可得点P的轨迹是以（±2，0）为焦点的椭圆；
（2）根据题意，得|NE|=|NF|=1且$\overrightarrow{NE}=-\overrightarrow{NF}$，由此化简得$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=${\overrightarrow{PN}}^{2}-1$，根据椭圆方程与两点的距离公式，求出当P的纵坐标为$2\sqrt{3}$时，${\overrightarrow{PN}}^{2}$的最小值为13-$4\sqrt{3}$，由此即得 $\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=${\overrightarrow{PN}}^{2}-1$的最小值．

解答 （1）设P的坐标为P（x，y），则Q（8，y）
∵（$\overrightarrow{PC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PQ}$）•（$\overrightarrow{PC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PQ}$）=0，得：4$|\overrightarrow{PC}{|}^{2}=|\overrightarrow{PQ}{|}^{2}$．
∴4[（x-2）²+y²]=[（x-8）²+（y-y）²]，化简得3x²+4y²=48，
∴点P的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，此曲线是以（±2，0）为焦点的椭圆；
（2）∵EF为圆N的直径，∴|NE|=|NF|=1，且$\overrightarrow{NE}=-\overrightarrow{NF}$，
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=（$\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{NE}$）•（$\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{NF}$）=（$\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{NF}$）•（$\overrightarrow{PN}-\overrightarrow{NF}$）=${\overrightarrow{PN}}^{2}-1$．
∵点P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$上的点，满足x²=16-$\frac{4}{3}{y}^{2}$，
∵N（0，1），∴${\overrightarrow{PN}}^{2}$=x²+（y-1）²=-$\frac{1}{3}$（y+3）²+20，
∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$上点P纵坐标满足 y∈[-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]，
∴当y=$2\sqrt{3}$时，${\overrightarrow{PN}}^{2}$的最小值为13-$4\sqrt{3}$，
故$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=${\overrightarrow{PN}}^{2}-1$的最小值等于12-$4\sqrt{3}$．

点评 本题给出动点P的轨迹，求其方程并研究向量数量积的最大值，着重考查了向量的数量积、椭圆的标准方程与简单性质和直线与圆等知识，属于中档题．