题目内容
20．已知二次函数f（x）在y轴上的截距为3，且满足f（x+2）-f（x）=4x+2．（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在区间[-2，2]上，y=f（x）图象恒在直线y=-3x+m上方，试确定实数m的取值范围．
分析 （1）利用条件f（x+2）-f（x）=4x+2，且f（0）=-1，建立方程即可求解可得函数的解析式，进而得到f（x）的单调递增区间；
（2）在区间[-2，2]上，y=f（x）图象恒在直线y=-3x+m上方，即m＜x2+2x+3在区间[-2，2]上恒成立，求出x2+2x+3在区间[-2，2]上的最小值，可得实数m的取值范围．
解答 解：（1）设二次函数f（x）=ax2+bx+c
∵函数f（x）在y轴上的截距为3，
∴f（0）=c=3，
∴f（x）=ax2+bx+3，
∵f（x+2）-f（x）=4x+2，
∴a（x+2）2+b（x+2）-ax2-bx=4x+2，
即4ax+4a+2b=4x+2，
∴4a=4且4a+2b=2，
解得a=1，b=-1，
∴f（x）=x2-x+3
∵f（x）=x2-x+3的图象是开口朝上，且以直线x=$\frac{1}{2}$为对称轴的抛物线，
故f（x）的单调递增区间为[$\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）在区间[-2，2]上，y=f（x）图象恒在直线y=-3x+m上方，
∴在区间[-2，2]上，x2-x+3＞-3x+m恒成立，
即m＜x2+2x+3在区间[-2，2]上恒成立，
∵y=x2+2x+3的图象是开口朝上，且以直线x=-1为对称轴的抛物线，
故当x=-1时，函数的最小值为2，
故m＜2
点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
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| A． | y=sin（$\frac{1}{3}$x+$\frac{π}{6}$） | B． | y=sin（3x+$\frac{π}{6}$） | C． | y=sin（$\frac{1}{3}$x-$\frac{π}{6}$） | D． | y=sin（3x-$\frac{π}{6}$） |
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| A． | $\frac{π}{3}$ | B． | $\frac{2π}{3}$ | C． | π | D． | 2π |