题目内容

2.已知a>0,b>0且a≠1,若函数y=logax过点(a+2b,0),则$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b}$的最小值为(  )
A.$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$B.$\frac{14}{3}$C.$\frac{15}{4}$D.2$\sqrt{2}$

分析 函数y=logax过点(a+2b,0),可得a+2b=1,变形利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.

解答 解:∵函数y=logax过点(a+2b,0),
∴a+2b=1,
∵a>0,b>0且a≠1,
∴$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$(a+1+2b)$(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b})$=$\frac{1}{2}(1+2+\frac{2b}{a+1}+\frac{a+1}{b})$$≥\frac{1}{2}(3+2\sqrt{\frac{2b}{a+1}•\frac{a+1}{b}})$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$,当且仅当a+1=$\sqrt{2}$b=$2\sqrt{2}$-2.
故选:A.

点评 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

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