Question

13．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{φ}{2}$）cos（x+$\frac{φ}{2}$）+sin²（x+$\frac{φ}{2}$）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象经过点（$\frac{π}{3}$，1）
（1）求f（x）．
（2）在△ABC中，A、B、C的对边为a、b、c，a=$\sqrt{5}$，S_△ABC=2$\sqrt{5}$，角C为锐角且f（$\frac{C}{2}$-$\frac{π}{12}$）=$\frac{7}{6}$，求c边长．

Answer 1

分析 （1）运用二倍角的正弦和余弦公式，结合两角和差的正弦公式，化简即可得到f（x）的解析式；
（2）由同角的平方关系和三角形的面积公式，结合余弦定理，即可求得c．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{ϕ}{2}$）cos（x+$\frac{ϕ}{2}$）+sin²（x+$\frac{ϕ}{2}$）
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin（2x+φ）+$\frac{1-cos（2x+ϕ）}{2}$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin（2x+φ）-$\frac{1}{2}$cos（2x+φ）+$\frac{1}{2}$=sin（2x+φ-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∵图象经过点（$\frac{π}{3}$，1），
∴sin（2•$\frac{π}{3}$+φ-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=1，即sin（$\frac{π}{2}$+φ）=$\frac{1}{2}$，即cosφ=$\frac{1}{2}$，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$；
（2）∵f（$\frac{C}{2}$-$\frac{π}{12}$）=sinC+$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{6}$，∴sinC=$\frac{2}{3}$
∴cosC=$\sqrt{1-\frac{4}{9}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{5}$•b•$\frac{2}{3}$=2$\sqrt{5}$，∴b=6，
∴c²=a²+b²-2abcosC=5+36-2•$\sqrt{5}$•6•$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$=21
∴c=$\sqrt{21}$．

点评 本题考查三角函数的求值和化简，同时考查二倍角公式和两角和的正弦公式及同角的平方关系的运用，以及余弦定理和面积公式的运用，属于中档题．