题目内容

7．已知曲线y=$\sqrt{2-{x}^{2}}$与x轴的交点为A，B，分别由A，B两点向直线y=x作垂线，垂足为c，d，沿直线y=x将平面ABCD折起，使平面ACD⊥平面BCD，则四面体ABCD的外接球的表面积为6π．

分析 折叠后的四面体的外接球的半径，就是四面体扩展为长方体，对角线AB的一半就是外接球的半径，求出球的半径即可求出球的表面积．

解答 解：由题意曲线y=$\sqrt{2-{x}^{2}}$与x轴的交点为A，B可知，OA=OB=$\sqrt{2}$，
由A，B两点向直线y=x作垂线，垂足为C，D，∴AC=BD=1，
沿直线y=x将平面ACD折起，使平面ACD⊥平面BCD，如图：
三棱锥扩展为长方体，
长方体的对角线AB的一半就是外接球的半径，
∴AB2=AC2+BC2=AC2+CD2+BD2=1+4+1=6，∴R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
所求四面体A-BCD的外接球的表面积为4π×（$\frac{\sqrt{6}}{2}$）2=6π．
故答案为：6π．

点评 本题考查球的内接多面体，考查空间想象能力，计算能力，求出球的半径，是解题的关键，．

练习册系列答案
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14．判断下列各命题是否成立，并简述理由：
（1）若a＞b，则ac＜bc；
（2）若ac2＜bc2，则a＞b；
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（4）若a＞b，$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{b}$，则a＞0，b＜0．
18．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图．
（1）y=$\frac{1}{2}$sin（3x-$\frac{π}{3}$），x∈R；
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（3）y=1-sin（2x-$\frac{π}{5}$），x∈R；
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15．已知f（x）=x3+ax2-a2x+2
（1）当a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程
（2）当a≠0，求函数f（x）的单调区间
（3）不等式2x1nx≤f′（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．
2．已知a＞0，b＞0且a≠1，若函数y=logax过点（a+2b，0），则$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b}$的最小值为（　　）
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12．若函数f（x）=|ax+x2-xlna-m|-2，（a＞0且a≠1）有两个零点，则m的取值范围是（-1，3）．
19．某市约有20万住户，为了节约能源，拟出台“阶梯电价”制度，即制定住户月用电量的临界值a．若某住户某月用电量不超过a度，则按平价（即原价）0.5（单位：元/度）计费；若某月用电量超过a度，则超出部分按议价b（单位：元/度）计费，未超出部分按平价计费，为确定a的值，随机调查了该市100户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．
根据频率分布直方图解答以下问题（同一组数据用该区间的中点值作代表）：
（Ⅰ）若该市计划让全市70%的住户在“阶梯电价”出台前后缴纳的电费不变，求临界值a；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，假定出台“阶梯电价”之后，月用电量未达a度的住户用电量保持不变；月用电量超过a度的住户节省“超出部分”的60%，试估计全市每月节约的电量；
（Ⅲ）在（Ⅰ）（Ⅱ）条件下，若出台“阶梯电价”前后全市缴纳电费总额不变，求议价b．
16．设函数f（x）=ae2|x-b|（a＞0，b∈R），当a=1时，对任意的x∈R，f（x）≥x，求实数b的取值范围．
17．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为（　　）
A．$\frac{8}{3}$B．$\frac{4}{3}$C．4$\sqrt{3}$D．2$\sqrt{3}$

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