题目内容

【题目】如图，，分别是通过某城市开发区中心O的两条东西和南北走向的街道，连接M，N两地间的铁路是圆心在上的一段圆弧．若点M在点O正北方向，且，点N到，的距离分别为5km和4km．

（1）建立适当的坐标系，求铁路路线所在圆弧的方程．

（2）若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4km，并且铁路上任意一点到校址的距离不能小于km，求该校址距点O的最近距离．

【答案】（1）；（2）校址选在距离O为5km的地方最近

【解析】

(1)由已知得以，为x轴、y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，得出M，N的坐标，铁路路线所在圆弧所在的圆的圆心既在x轴上，又在直线MN的垂直平分线上，由此可求出圆心的坐标，再利用两点的距离求出半径，从而得出铁路路线所在圆弧的方程.

(2)设出校址的坐标，根据两点的距离公式列出不等式，再利用(1)小问中求出的圆弧的方程代换掉不等式中的y,得出关于x的不等式，再将所得的不等式设成关于x的一次函数，利用一次函数的单调性列出关于a的不等式，得解.

（1）如图，分别以，为x轴、y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．则，，故，MN的中点为．

线段MN的垂直平分线方程为．

由于圆心既在线段MN的垂直平分线方程上，又在x轴上，

所以令直线方程中的，得．

故圆心，．圆A的方程为．弧MN的方程为

（2）设校址选在，则对恒成立．整理，得对恒成立．令．

，．

函数在区间上为减函数．

，即，解得，即校址选在距离O为5km的地方最近．

故得解.

练习册系列答案
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