Question

15．已知S_n为正项的数列{a_n}的前n项和，且a_n+1²-a_n+1+2-a_n²=0，S₂₉=a₂₉²，则以a₁为首项，2为公比的等比数列{b_n}的第2015项为2²⁰¹⁷．

Answer 1

分析 通过a_n+1²-a_n+1+2=a_n²，写出当n从1到29时的28个表达式并相加，利用S₂₉=a₂₉²及a_n＞0，可得a₁=8，进而可得结论．

解答 解：由已知a_n＞0，
又∵a_n+1²-a_n+1+2-a_n²=0，
∴${{a}_{2}}^{2}-{a}_{2}+2={{a}_{1}}^{2}$，
${{a}_{3}}^{2}-{a}_{3}+2={{a}_{2}}^{2}$，
…
${{a}_{29}}^{2}-{a}_{29}+2={{a}_{28}}^{2}$，
将以上28个式子相加，化简得
${{a}_{29}}^{2}$-（S₂₉-a₁）+2×28=${{a}_{1}}^{2}$，
又S₂₉=a₂₉²，代入上式化简得
（a₁-8）（a₁+7）=0，
又∵a_n＞0，∴a₁=8，
∴b₂₀₁₅=a₁•q^2015-1=8•2²⁰¹⁴=2²⁰¹⁷，
故答案为：2²⁰¹⁷．

点评 本题考查求数列的通项，利用累加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．