题目内容
3．在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，点F是对角线BD上的动点，则$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$的最小值是（ ）| A． | -3 | B． | -2 | C． | -$\frac{3}{2}$ | D． | -1 |
分析 运用几何图形结合向量的运用得出$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=λ（λ-1）$\overrightarrow{BA}$2+（2λ2-λ）$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{BC}$+λ2$\overrightarrow{BC}$2=16λ2-8λ，0≤λ≤1，再运用二次函数的单调性求解即可得出最小值．
解答 解：∵菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，
∴根据几何图形得出$\overrightarrow{BA}$$+\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{BC}$=4×4×（-$\frac{1}{2}$）=-8，
$\overrightarrow{BA}$2=$\overrightarrow{BC}$2=16
设$\overrightarrow{BF}$=λ$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{BF}$$-\overrightarrow{BA}$=（λ-1）$\overrightarrow{BA}$+$λ\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=λ（λ-1）$\overrightarrow{BA}$2+（2λ2-λ）$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{BC}$+λ2$\overrightarrow{BC}$2=16λ2-8λ，0≤λ≤1
根据函数的单调性可判断；当$λ=\frac{1}{4}$时，16λ2-8λ的最小值为16×$\frac{1}{16}$$-8×\frac{1}{4}$=-1
故选：D
点评 本题考查了平面向量的运用，转化为函数求解，关键是根据几何图形，运用数量积得出函数式子，属于中档题．
如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①四边形CEDF有可能成为正方形；②△DFE是等腰直角三角形；③四边形CEDF的面积是定值；④点C到线段EF的最大距离为$\sqrt{2}$．