题目内容
【题目】若存在实数使得
则称
是区间
的
一内点.
(1)求证:的充要条件是存在
使得
是区间
的
一内点;
(2)若实数满足:
求证:存在
,使得
是区间
的
一内点;
(3)给定实数,若对于任意区间
,
是区间的
一内点,
是区间的
一内点,且不等式
和不等式
对于任意
都恒成立,求证:
【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 (3)证明过程见解析
【解析】
(1)先理解定义,再由已知证明的充要条件是存在
使得
是区间
的
一内点;
(2)用作差法判断的大小关系,得
,结合(1)即可得证;
(3)由已知可得恒成立,由二次不等式恒成立问题可得
,且
,解得
,同理
,即可得解.
解:(1)①若是区间
的
一内点,
则存在实数使得
,则
,
②若,取
,则
,且
,
则是区间
的
一内点,
故的充要条件是存在
使得
是区间
的
一内点;
(2)由,
,
则,由(1)知,存在
,使得
是区间
的
一内点;
(3)因为是区间的
一内点,则
则恒成立,
则恒成立,
当时,上式不可能恒成立,
因此,
所以,
即,即
,
同理,
故.
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练习册系列答案
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甲流水线样本的频数分布表
质量指标值 | 频数 |
9 | |
10 | |
17 | |
8 | |
6 |
乙流水线样本的频率分布直方图
(1)根据图形,估计乙流水线生产的产品的该项质量指标值的中位数;
(2)设该企业生产一件合格品获利100元,生产一件不合格品亏损50元,若某个月内甲、乙两条流水线均生产了1000件产品,若将频率视为概率,则该企业本月的利润约为多少元?