题目内容
已知数列的前项和满足:(为常数,且).
(1)求的通项公式;
(2)设,若数列为等比数列,求的值;
(3)在满足条件(2)的情形下,设,数列的前项和为 ,求证:.
(1)求的通项公式;
(2)设,若数列为等比数列,求的值;
(3)在满足条件(2)的情形下,设,数列的前项和为 ,求证:.
(1);(2);(3)证明过程详见解析.
试题分析:本题主要考查数列的通项公式和数列求和问题,考查学生的计算能力和分析问题的能力以及推理论证的能力.第一问,是由求;第二问,先把第一问的结论代入,整理出表达式,已知为等比数列,所以用数列的前3项的关系列式求;第三问,把第二问的结果代入,化简表达式,本问应用了放缩法和分组求和的方法.
试题解析:(1)∴
当时,
,即是等比数列. ∴; 4分
(2)由(Ⅰ)知,,若为等比数列,
则有而
故,解得, 7分
再将代入得成立, 所以. 8分
(3)证明:由(Ⅱ)知,所以
, 9分
由得
所以, 12分
从而
.
即. 14分求;2.等比数列的通项公式;3.等比中项;4.放缩法;5.分组求和.
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