题目内容
【题目】某中学旅游局欲将一块长20百米，宽10百米的矩形空地ABCD建成三星级乡村旅游园区，园区内有一景观湖EFG（如图中阴影部分）以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，O为园区正门，园区北门P在y正半轴上，且PO=10百米。景观湖的边界线符合函数
的模型。
（1）若建设一条与AB平行的水平通道，将园区分成面积相等的两部分，其中湖上的部分建成玻璃栈道，求玻璃栈道的长度。
（2）若在景观湖边界线上一点M修建游船码头，使得码头M到正门O的距离最短，求此时M点的横坐标。
（3）设图中点B为仓库所在地，现欲在线段OB上确定一点Q建货物转运站，将货物从点B经Q点直线转运至点P(线路PQ不穿过景观湖)，使货物转运距离QB+PQ最短，试确定点P的位置。
【答案】（1）玻璃栈道的长度为3百米．
（2）
.
(3) 当点
在线段
上且与点O的距离为
百米时，
最短．
【解析】
分析：（1）根据题意，建立相应的等量关系式，求得结果；
（2）利用两点间的距离公式，列出对应的式子，之后应用基本不等式求得最值；
（3）将两条线段的长度和化为关于坐标的关系式，结合性质，求得最值.
详解：（1）令
，即
，解得：
或4，
则玻璃栈道的长度
，
∴玻璃栈道的长度为3百米．
（2）设
，其中
，
则
，当且仅当
时，即
时取等号．
∴
取最小值时M点的横坐标为．
（3）设
，
∵
在
轴正半轴上，且PO=10 ∴
又∵
∴
在
上单调减
∴点越靠近点
，越短．
∵路线PQ不穿过景观湖 ∴当直线
与边界曲线相切时，最短．
设切点为
，由
得
∴切线的方程为
∵切线过点，∴
，解得：
∴切线方程为：
．
令
，得
，即点在线段上且与点O的距离为百米．
答：当点在线段上且与点O的距离为百米时，最短．
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