题目内容
16．设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（$\frac{1}{3}$）=1．（1）求f（1）的值；
（2）若存在实数m，使得f（m）=2，求m的值；
（3）若f（x-2）＞2，求x的取值范围．
分析 （1）令x=y=1，即可求得f（1）；（2）令x=y=$\frac{1}{3}$，即可得到m=2：
（3）由（2）的结论和函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，可得x的不等式组，解不等式即可得到所求范围．
解答 解：（1）令x=y=1则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
（2）∵f（$\frac{1}{3}$）=1，
∴f（$\frac{1}{9}$）=f（$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$）=f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{3}$）=2，
∴m=$\frac{1}{9}$；
（3）∵f（x-2）＞2=f（$\frac{1}{9}$），
函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2＞0}\\{x-2＜\frac{1}{9}}\end{array}\right.$，解得2＜x＜$\frac{19}{9}$．
点评 本题考查抽象函数的运用：求函数值和自变量的值，考查赋值法的运用，同时考查单调性的运用：解不等式，属于中档题．
练习册系列答案
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6．先将函数$f（x）=cos（2x-\frac{π}{6}）+1$的图象上所有点向右平移$\frac{π}{4}$个单位，再向上平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，则下列正确的是（ ）
| A． | f（x）的周期是$\frac{π}{2}$ | B． | $f（x+\frac{π}{12}）$是奇函数 | ||
| C． | g（x）的图象关于点$（\frac{7π}{12}，0）$对称 | D． | g（x）在区间$[0，\frac{π}{3}]$上单调递增 |
5．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（2a-1）x+4a，x＜1\\-x+1，x≥1\end{array}$是定义在R上的减函数，则a的取值范围是（ ）
| A． | $[\frac{1}{6}，\frac{1}{2}）$ | B． | $[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$ | C． | $（\frac{1}{6}，\frac{1}{2}]$ | D． | $[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$ |