Question

【题目】如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点．

(1)求证：EF∥平面A1B1BA；

(2)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）30°

【解析】

（1）连接A1B，结合三角形中位线定理，得到平行，结合直线与平面平行，的判定定理，即可。（2）取的中点N，连接，利用直线与平面垂直判定定理，得到平面，找出即为所求的角，解三角形，计算该角 的大小，即可。

解：(1)证明：如图，连接A1B.在△A1BC中，

因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.

又EF平面A1B1BA，

所以EF∥平面A1B1BA

(2)解：因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.

因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，从而BB1⊥AE.

又BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1，.

取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.

因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NE∥B1B，NE＝B1B，

故NE∥A1A且NE＝A1A，所以A1N∥AE，且A1N＝AE.

因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角．

在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.

因为BM∥AA1，BM＝AA1，所以A1M∥AB，A1M＝AB，

由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1.

在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝4.

在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝，

因此∠A1B1N＝30°.

所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°