[题目]如图.几何体ABCDE中.△ABC是正三角形.EA和DC都垂直于平面ABC.且EA=AB=2a.DC=a.F.G分别为EB和AB的中点． (1)求证:FD∥平面ABC,(2)求二面角B﹣FC﹣G的正切值．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F、G分别为EB和AB的中点．
（1）求证：FD∥平面ABC；
（2）求二面角B﹣FC﹣G的正切值．

【答案】
（1）证明：连CG，FG，则四边形DEGC是平行四边形，得到DF∥CG

DF平面ABC，CG平面ABC

所以FD∥平面ABC；

（2）证明：设二面角B﹣FC﹣G的大小为α

易知BG⊥平面FCG，所以△FCG为△BFC的射影

∴cosα=

∴tanα=

【解析】（1）连CG，FG，由已知中F是BE的中点，结合三角形中位线的性质，可得FG平行且等于AE的一半，又由EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=2a，DC=a，可得四边形DEGC是平行四边形，进而得到DF∥CG，由线面平行的判定定理即可得到FD∥平面ABC；（2）易知BG⊥平面FCG，所以△FCG为△BFC的射影，故分别计算面积可求二面角的余弦值，从而得解．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行即可以解答此题．

练习册系列答案

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B.
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