题目内容

【题目】在四棱锥PABCD中,DA⊥平面PABDCABDADC=2,ABAP=4,∠PAB=120°,MPB中点.

(Ⅰ)求证:CM∥平面PAD

(Ⅱ)求二面角MACB的余弦值.

【答案】(I)详见解析;(II).

【解析】

(Ⅰ)取AB中点O,连接COMO,可得边形AOCD为平行四边形,得到COAD,由线面平行的判定可得CO∥平面PAD;再证明MOPA,得到OM∥平面PAD,由面面平行的判定可得平面COM∥平面PAD,则CM∥平面PAD

(Ⅱ)由DA⊥平面PAB,可得平面PAB⊥平面ABCD,由已知可得∠MAB=60°,∠MOA=60°,取AO中点G,连接MG,则MGAO,过GGHAC,垂足为H,连接MH,则∠MHG为二面角MACB的平面角,求解三角形得答案.

(Ⅰ)证明:取AB中点O,连接COMO

DCABAODC,可得四边形AOCD为平行四边形,

COAD

AD平面PADCO平面PAD,∴CO∥平面PAD

MPB中点,OAB中点,则MOPA

PA平面PADOM平面PAD,∴OM∥平面PAD

COOMO,∴平面COM∥平面PAD

CM∥平面PAD

(Ⅱ)解:由DA⊥平面PABDA平面ABCD,可得平面PAB⊥平面ABCD

∵∠PAB=120°,PAABMPB的中点,则∠MAB=60°,∠MOA=60°,

AO中点G,连接MG,则MGAO,过GGHAC,垂足为H,连接MH

则∠MHG为二面角MACB的平面角,

在等边三角形AMO中,由AODC=2,可得MGHG,得MH

∴cos∠MHG

即二面角MACB的余弦值为

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