题目内容
【题目】在四棱锥P﹣ABCD中,DA⊥平面PAB,DC∥AB,DA=DC=2,AB=AP=4,∠PAB=120°,M为PB中点.
(Ⅰ)求证:CM∥平面PAD;
(Ⅱ)求二面角M﹣AC﹣B的余弦值.
【答案】(I)详见解析;(II).
【解析】
(Ⅰ)取AB中点O,连接CO,MO,可得边形AOCD为平行四边形,得到CO∥AD,由线面平行的判定可得CO∥平面PAD;再证明MO∥PA,得到OM∥平面PAD,由面面平行的判定可得平面COM∥平面PAD,则CM∥平面PAD;
(Ⅱ)由DA⊥平面PAB,可得平面PAB⊥平面ABCD,由已知可得∠MAB=60°,∠MOA=60°,取AO中点G,连接MG,则MG⊥AO,过G作GH⊥AC,垂足为H,连接MH,则∠MHG为二面角M﹣AC﹣B的平面角,求解三角形得答案.
(Ⅰ)证明:取AB中点O,连接CO,MO,
∵DC∥AB,AO=DC,可得四边形AOCD为平行四边形,
则CO∥AD,
∵AD平面PAD,CO平面PAD,∴CO∥平面PAD;
∵M为PB中点,O为AB中点,则MO∥PA,
∵PA平面PAD,OM平面PAD,∴OM∥平面PAD.
∵CO∩OM=O,∴平面COM∥平面PAD,
则CM∥平面PAD;
(Ⅱ)解:由DA⊥平面PAB,DA平面ABCD,可得平面PAB⊥平面ABCD,
∵∠PAB=120°,PA=AB,M为PB的中点,则∠MAB=60°,∠MOA=60°,
取AO中点G,连接MG,则MG⊥AO,过G作GH⊥AC,垂足为H,连接MH,
则∠MHG为二面角M﹣AC﹣B的平面角,
在等边三角形AMO中,由AO=DC=2,可得MG,HG,得MH.
∴cos∠MHG.
即二面角M﹣AC﹣B的余弦值为.
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