题目内容
(本小题14分)如图,在平面直角坐标系xoy中,设点F(0, p)(p>0), 直线l : y= -p, 点P在直线l上移动,R是线段PF与x轴的交点, 过R、P分别作直线
、
,使
,
.
(1) 求动点
的轨迹
的方程;
(2)在直线
上任取一点
做曲线
的两条切线,设切点为
、
,求证:直线
恒过一定点.





(1) 求动点


(2)在直线







解:(1)
.(2)见解析.

试题分析:(Ⅰ)先判断RQ是线段FP的垂直平分线,从而可得动点Q的轨迹C是以F为焦点,l为准线的抛物线;
(Ⅱ)设M(m,-p),两切点为A(x1,y1),B(x2,y2),求出切线方程,从而可得x1,x2为方程x2-2mx-4p2=0的两根,进一步可得直线AB的方程,即可得到直线恒过定点(0,p);
解:(1)依题意知,点





∴



故动点




其方程为:

(2)设



∴两条切线方程为x


x


对于方程①,代入点






∴

设直线



所以直线





点评:解决该试题的关键是正确运用圆锥曲线的定义和韦达定理,来表示根与系数的关系的运用。

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