题目内容
【题目】已知点
，点
是椭圆
：
上任意一点，线段
的垂直平分线
交于点
，点的轨迹记为曲线
.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过的直线交曲线于不同的
，
两点,交
轴于点
，已知
，
，求
的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知，
，利用椭圆的定义，即可得到椭圆的标准方程.
（Ⅱ）由题意知
，当直线
恰好过原点，可求得
.
当直线不过原点，设直线：
，得到
，联立方程组，利用根与系数的关系和韦达定理，得到.
试题解析：（Ⅰ）由题意知，，
故由椭圆定义知，点
的轨迹是以点
，
为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长半轴长为
，短半轴长为
，
∴曲线
的方程为：.
（Ⅱ）由题意知，
若直线恰好过原点，则
，
，
，
∴
，
，则
，
，
，则
，
∴.
若直线不过原点，设直线：，
，
，
，
.
则
，
，
，
，
由
，得
，从而
；
由
，得
，从而
；
故
.
联立方程组得：
整理得
，
∴
，
，
∴
.
综上所述，.
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