题目内容
【题目】已知矩形
和菱形
所在平面互相垂直，如图，其中
，
，
，点
是线段
的中点.
（Ⅰ）试问在线段
上是否存在点
，使得直线
平面
？若存在，请证明平面，并求出
的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）连接
，得
，进而得到直线
平面
，利用平行线的性质
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，进而得到
面
，得到，
，以
为空间原点，
，
，
分别为
，
，
轴建立空间直角坐标系
，
求得平面
的一个法向量
，平面
的一个法向量
，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的大小.
试题分析：（Ⅰ）作
的中点
，连接
交
于点
，点即为所求的点.
证明：连接，
∵是
的中点，是的中点，
∴，
又
平面，
平面，
∴直线平面.
∵
，
，
∴
，
∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又面
面，面
面
，面
，
所以面.
故，.
以为空间原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
∵
，
，
∴
为正三角形，
，
∴
，
，
，
，
∴
，
，
，
，
设平面的一个法向量
，则由
，
可得
令
，则.
设平面的一个法向量
，则由
，
可得
令
，则.
则
，
设二面角
的平面角为
，则
，
∴二面角的正弦值为.
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