题目内容
14.(1)在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作一个钝角θ,它的终边交单位圆于P点.已知P点的纵坐标为$\frac{4}{5}$.求$\frac{{cos(π-θ)+sin({\frac{3π}{2}-θ})}}{tan(π+θ)+cos(2π-θ)}$的值.(2)若对任意θ∈R,不等式cos2θ+2msinθ-2m-2<0恒成立,求实数m的范围.
分析 (1)由条件利用任意角的三角函数的定义,求得cosθ和sinθ的值,再利用诱导公式求得所给式子的值.
(2)由题意可得 (sinθ-m)2-m2+2m+1>0 恒成立,即f(t)=(t-m)2-m2+2m+1>0 恒成立,t∈[-1,1].再利用二次函数的性质分类讨论求得f(t)的最小值,再由f(t)的最小值大于零,求得m的范围.
解答 解:(1)在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作一个钝角θ,它的终边交单位圆于P点,
若P点的纵坐标为$\frac{4}{5}$,则点P的横坐标为-$\frac{3}{5}$,即cosθ=-$\frac{3}{5}$,sinθ=$\frac{4}{5}$,
∴$\frac{{cos(π-θ)+sin({\frac{3π}{2}-θ})}}{tan(π+θ)+cos(2π-θ)}$=$\frac{-cosθ-cosθ}{tanθ+cosθ}$=$\frac{\frac{6}{5}}{-\frac{4}{3}+(-\frac{3}{5})}$=-$\frac{18}{29}$.
(2)若对任意θ∈R,不等式cos2θ+2msinθ-2m-2<0恒成立,-sin2θ+2msinθ-2m-1<0恒成立,
即-(sinθ-m)2+m2-2m-1<0 恒成立,即 (sinθ-m)2-m2+2m+1>0 恒成立,
即f(t)=(t-m)2-m2+2m+1>0 恒成立,t∈[-1,1].
故当m<-1 时,f(t)的最小值为f(-1)=(-1-m)2-m2+2m+1>0,求得m>-$\frac{1}{2}$ (舍去),故此时m无解.
当m∈[-1,1]时,f(t)的最小值为f(m)=-m2+2m+1>0,求得1-$\sqrt{2}$<m<1+$\sqrt{2}$,故此时m∈(1-$\sqrt{2}$,1].
m>1 时,f(t)的最小值为f(1)=(1-m)2-m2+2m+1>0,求得m>1.
综上可得,要求的实数m的范围为(1-$\sqrt{2}$,+∞).
点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义,诱导公式,二次函数的性质,函数的恒成立问题,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.
A. | -120 | B. | 120 | C. | -240 | D. | 240 |
A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第二或第四象限 |
A. | $({\frac{lg2}{2},\frac{lge}{e}})$ | B. | $({0,\frac{1}{e}})$ | C. | $({\frac{lg2}{2},e})$ | D. | $({0,\frac{lg2}{2}})$ |
A. | 2 | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | -$\frac{1}{2}$ | D. | -3 |