Question

9．如果实数x，y满足：$\left\{\begin{array}{l}2x-y≥0\\ x+y-4≥0\\ x≤3\end{array}$，则$\frac{y}{x}$的取值范围是[$\frac{1}{3}$，2]，z=$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$的最大值为$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 根据已知的约束条，画出满足约束条件的可行域，将式子进行变形，再分析目标函数的几何意义，结合图象即可给出目标函数的取值范围．

解答 解：约束条件对应的平面区域如下图示：
设k=$\frac{y}{x}$，则z表示可行域内的点（x，y）与点（0，0）连线的斜率，
由图可知z的最大值为直线2x-y=0的斜率2，最小值为直线OC的斜率，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（3，1），则OC的斜率k=$\frac{1}{3}$，
故k=$\frac{y}{x}$的取值范围是[$\frac{1}{3}$，2]，
又z=$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$=k+$\frac{1}{k}$在[$\frac{1}{3}$，1]上单调递减，在[1，2]上递增，
则当t=1时，z=1+1=2，
当t=$\frac{1}{3}$时，z=$\frac{1}{3}$+3=$\frac{10}{3}$，
∵$\frac{10}{3}$＞2，
∴z=$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$=k+$\frac{1}{k}$在[$\frac{1}{3}$，2]上的最大值为$\frac{10}{3}$，
故答案为：[$\frac{1}{3}，2$]，$\frac{10}{3}$

点评 本题主要考查线性规划的应用，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．