[题目]一个正方形被剖分为4个正方形.剖分图的边数为12.若一个正方形被剖分为2005个凸多边形.试求剖分图中边数的最大值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】一个正方形被剖分为4个正方形，剖分图的边数为12.若一个正方形被剖分为2005个凸多边形，试求剖分图中边数的最大值.

【答案】正方形剖分为2005个凸多边形时，边的最大值为6016.

【解析】

由欧拉定理可知，简单多面体的顶点数、面数、棱数有如下关系：.

由欧拉定理容易看出，若一个凸多边形被剖分为个凸多边形，则剖分图中的顶点数、多边形数、边数满足

. ①

下面在一般的情况下，即正方形被剖分为个凸多边形时，求剖分图中边数的最大值.设剖分图中的顶点数为、多边形数为、边数为.

（1）先求边数的上界.

设原正方形的4个顶点是、、、.若凸多边形的顶点，则易知

（这里用表示过顶点的边数）.

故.

注意到这样的顶点有个，于是，有个上面的不等式.将它们相加求和，并注意到除去正方形四边的每条边恰是两个凸多边形的边，有

即.

因为，，，.

则. ②

由式①有

将式②代入式③，并整理得

，即.

（2）构造例子，使边数.

如图，过正方形的一边相继作条邻边的平行线，正方形被剖分为个矩形，易知，边数

综上所述，剖分图中边数的最大值为.

所以，正方形剖分为2005个凸多边形时，边的最大值为6016.

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由，可得，令，利用导数研究其单调性可得

，

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又，所以，

若，则，与矛盾，故， .

（2）由（1）可知，，

由，可得，

令，

，

令

当时，，单调递减，且；

当时，，单调递增；且，

所以在上当单调递减，在上单调递增，且，

故，

故.

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span>女员工
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