题目内容
【题目】如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱与底面垂直,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,点M,N分別为A1B和B1C1的中点.
(1)求异面直线A1B与NC所成角的余弦值;
(2)求A1B与平面NMC所成角的正弦值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)以点A为原点,分别以AB,AC,AA1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线A1B与NC所成角的余弦值;
(2)求出平面MNC的一个法向量,利用向量法能求出A1B与平面NMC所成角的正弦值.
(1)证明:以点为坐标原点,分别以直线
,
,
为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系
,于是
,
,
,
.
∴,
,
设异面直线与
所成角为
,则
.
∴异面直线与
所成角的余弦值为
.
(2),
,
,
,
设是平面
的一个法向量,则
,取
,
设向量和向量
的夹角为
,
则
,
∴与平面
所成角的正弦值为
.
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