题目内容
【题目】如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，点M，N分別为A1B和B1C1的中点．
（1）求异面直线A1B与NC所成角的余弦值；
（2）求A1B与平面NMC所成角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）以点A为原点，分别以AB，AC，AA1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1B与NC所成角的余弦值；
（2）求出平面MNC的一个法向量，利用向量法能求出A1B与平面NMC所成角的正弦值．
（1）证明：以点
为坐标原点，分别以直线
，
，
为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系
，于是
，
，
，
.
∴
，
，
设异面直线
与
所成角为
，则
.
∴异面直线与所成角的余弦值为.
（2）
，，，
，
设
是平面
的一个法向量，则
，取
，
设向量
和向量
的夹角为
，
则
，
∴与平面
所成角的正弦值为.
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