题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,分别为椭圆的左、右焦点.动直线过点,且与椭圆相交于两点(直线轴不重合).

(1)若点的坐标为,求点坐标;

(2)点,设直线的斜率分别为,求证:

(3)求面积最大时的直线的方程.

【答案】(1) (2)见证明;(3)

【解析】

(1)由已知得到直线l的方程,与椭圆方程联立即可求得点B的坐标;

(2)设直线l的方程为xty+1,与椭圆方程联立,利用根与系数的关系及斜率公式即可证明k1+k2=0;

(3)△AF1B的面积S|F1F2||y1y2|=|y1y2|.把(2)中的根与系数的关系代入,可得S.设函数fx)=9xx≥1),利用导数可得fx)=9x在[1,+∞)上单调递增,得到当t2+1=1,即t=0时,9(t2+1)取最小值10.由此可得直线l的方程为x=1.

(1)因为直线经过点

所以直线的方程为

解得

所以

(2)因为直线轴不重合,故可设直线的方程为

由/span>

所以

因为在直线上,所以

所以

从而

因为

所以

(3)方法一:的面积 .

由(2)知,

设函数

因为,所以上单调递增,

所以当,即时,取最小值10.

即当时,的面积取最大值,此时直线的方程为

方法二:的面积

由(2)知,

因为,所以

所以,即时,的面积取最大值.

因此,的面积取最大值时,直线的方程为

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