题目内容

17.已知f(x)=ln(x+a)-$\frac{1}{2}$ax2,a∈R,求f(x)单调区间.

分析 先求函数的定义域,求函数的导数,在定义域内讨论函数的单调性.

解答 解:f(x)=ln(x+a)-$\frac{1}{2}$ax2的定义域为(-a,+∞),
∴f′(x)=$\frac{1}{x+a}$-ax=-$\frac{a{x}^{2}+{a}^{2}x-1}{x+a}$,
当a≤0时,f′(x)>0恒成立,
∴函数f(x)在(-a,+∞)单调递增,
当a>0时,∵△=a4+4a>0,
令f′(x)=0,解得x1=-$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$,x2=-$\frac{a}{2}$-$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$,
若x2=-$\frac{a}{2}$-$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$≥-a,解得a≤0,不成立,
x2=-$\frac{a}{2}$-$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$<-a,解得a>0,成立,
∵x1=-$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$>-a,
∴-$\frac{a}{2}$-$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$<-a<-$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$,
当f′(x)>0时,即x>-$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$,函数f(x)单调递增,
当f′(x)<0时,即-a<x<-$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$,函数f(x)单调递减,
综上所述,当a≤0时,函数f(x)在(-a,+∞)单调递增,
当a>0时,函数f(x)在(-$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$,+∞)单调递增,在(-a,-$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4a}}{2a}$)单调递减.

点评 本题考查了导数和函数单调性的关系,以及分类讨论的思想,培养了学生的运算能力,转化能力,属于中档题.

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