Question

7．已知函数f（x）=x²+ax+3
（1）若f（x）＞0的解集为{x|x＜1或x＞3}，求实数a的值．
（2）若f（x）≥0对x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）≥a对a∈[-3，-1]恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意得到不等式组解出即可；（2）问题转化为$a≥-（x+\frac{3}{x}）$对x∈[1，2]恒成立，从而求出a的范围；（3）令g（a）=（x-1）a+x²-3，得到g（a）≥0对a∈[-3，-1]恒成立，得到不等式组，解出x的范围即可．

解答 解：（1）根据题意，得$\left\{{\begin{array}{l}{1+a+3=0}\\{9+3a+3=0}\end{array}}\right.$…（3分）
解得a=-4…（5分）
（2）由题意x²+ax+3≥0对x∈[-2，1]恒成立，
则$a≥-（x+\frac{3}{x}）$对x∈[1，2]恒成立，
∵$x+\frac{3}{x}≥2\sqrt{3}$，当且仅当$x=\sqrt{3}$时“=”成立 …（8分），
∴$a≥-2\sqrt{3}$…（10分）
（或分类讨论求函数y=f（x）的最小值）
（3）由题可得（x-1）a+x²+3≥0对a∈[-3，-1]恒成立 …（11分）
令g（a）=（x-1）a+x²-3，
则g（a）≥0对a∈[-3，-1]恒成立     …（12分）
则$\left\{\begin{array}{l}g（-1）=-（x-1）+{x^2}-3≥0\\ g（1）=-3（x-1）+{x^2}-3≥0\end{array}\right.$…（14分）
得x∈（-∞，0]∪[3，+∞）…（15分）

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数恒成立问题，考查转化思想，本题是一道中档题．