Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB₁，BC₁的中点，有如下四个命题：
①EF⊥BB₁ ②EF⊥BD   ③EF与CD异面  ④EF与A₁C₁异面
其中全部真命题的序号是

①②③

．

Answer 1

分析：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，连接A₁C₁，由E、F分别是AB₁，BC₁的中点，知EF∥A₁C₁，①由A₁C₁⊥BB₁ ，知EF⊥BB₁ ；②由A₁C₁⊥BD，知EF⊥BD；③由EF∥A₁C₁，A₁C₁与CD异面，EF与CD不相交，知EF与CD异面；④由EF∥A₁C₁，知EF与A₁C₁共面．

解答：解：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，连接A₁C₁，
∵E、F分别是AB₁，BC₁的中点，
∴EF∥A₁C₁，
①∵A₁C₁⊥BB₁ ，∴EF⊥BB₁ ，故①正确；
②∵A₁C₁⊥BD，∴EF⊥BD，故②正确；
③EF∥A₁C₁，A₁C₁与CD异面，EF与CD不相交，
∴EF与CD异面，故③正确；
④∵EF∥A₁C₁，∴EF与A₁C₁共面，故④不正确．
故答案为：①②③．

点评：本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意平面的基本性质及其推论的应用．