题目内容
已知函数f(x)=loga
(a>0,a≠1)是奇函数.
(1)求m的值;
(2)求f(x)的反函数f-1(x);
(3)讨论f(x)的单调性,并用定义证明;
(4)当f(x)定义域区间为(1,a-2)时,f(x)的值域为(1,+∞),求a的值.
1-mx |
x-1 |
(1)求m的值;
(2)求f(x)的反函数f-1(x);
(3)讨论f(x)的单调性,并用定义证明;
(4)当f(x)定义域区间为(1,a-2)时,f(x)的值域为(1,+∞),求a的值.
(1)∵函数f(x)是奇函数,
∴f(-x)+f(x)=loga
+loga
=loga
=0,对定义域内的任意x恒成立,
∴
=1,即(m2-1)x2=0.
解得m=±1,经检验m=-1成立.
(2)由(1)可得:y=loga
,由
>0,解得x>1或x<-1.
∴函数f(x)的定义域为{x|x>1或x<-1}.
由y=loga
,化为ay=
,解得x=
(y≠0),
∴f-1(x)=
(x≠0,a>0,a≠1).
(3)由(2)可知函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),
设g(x)=
,任取x1<x2<-1或1<x1<x2,
∵g(x1)-g(x2)=
>0,
∴g(x1)>g(x2),
∴函数g(x)=
在(-∞,-1)或(1,+∞)上单调递减,
∴当a>1时,f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减,
当0<a<1时,f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增.
(4)∵1<x<a-2,
∴a>3,
由(3)可知f(x)在(1,a-2)上单调递减.
∴f(a-2)=1,即loga
=1,化简得a2-4a+1=0,
解得a=2+
.
∴f(-x)+f(x)=loga
1+mx |
-x-1 |
1-mx |
x-1 |
1-m2x2 |
1-x2 |
∴
1-m2x2 |
1-x2 |
解得m=±1,经检验m=-1成立.
(2)由(1)可得:y=loga
x+1 |
x-1 |
x+1 |
x-1 |
∴函数f(x)的定义域为{x|x>1或x<-1}.
由y=loga
x+1 |
x-1 |
x+1 |
x-1 |
ay+1 |
ay-1 |
∴f-1(x)=
ax+1 |
ax-1 |
(3)由(2)可知函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),
设g(x)=
x+1 |
x-1 |
∵g(x1)-g(x2)=
2(x2-x1) |
(x1-1)(x2-1) |
∴g(x1)>g(x2),
∴函数g(x)=
x+1 |
x-1 |
∴当a>1时,f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减,
当0<a<1时,f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增.
(4)∵1<x<a-2,
∴a>3,
由(3)可知f(x)在(1,a-2)上单调递减.
∴f(a-2)=1,即loga
a-1 |
a-2 |
解得a=2+
3 |
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