Question

6．已知函数f（x）=e^x-ax（e为自然对数的底数）．
（1）当α∈N，且e-2＜${∫}_{0}^{1}$f（x）dx＜e-1时，求f（x）的最小值；
（2）设不等式f（x）＞x的解集为P，且{x|0≤x≤2}⊆P，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求的定积分．再解不等式．求出a的值．再判断函数的单调性，从而求f（x）的最小值；
（2）根据不等式f（x）＞x的解集为P，且{x|0≤x≤2}⊆P，可转化成，对任意的x∈[0，2]，不等式f（x）＞x恒成立，将（1+a）x＜e^x变形为a＜$\frac{{e}^{x}}{x}$-1，令（x）=＜$\frac{{e}^{x}}{x}$-1，利用导数研究g（x）的最小值，使a小于最小值即可．

解答 解：（1）${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=${∫}_{0}^{1}$（e^x-ax）dx=（e^x-$\frac{1}{2}$ax²）|${\;}_{0}^{1}$=e-$\frac{1}{2}$a-1，
∵e-2＜${∫}_{0}^{1}$f（x）dx＜e-1，
∴e-2＜e-$\frac{1}{2}$a-1＜e-1，
∴0＜a＜2，
∵α∈N，
∴a=1，
∴f（x）=e^x-x，
∴f′（x）=e^x-1，
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数，在[0，+∞）上是增函数，
∴f（x）的最小值为f（0）=1；
（2）∵f（x）=e^x-ax，
∴不等式f（x）＞x可化为e^x-x-ax＞0，
又∵不等式f（x）＞x的解集为P，且{x|0≤x≤2}⊆P，
由f（x）＞x，得（1+a）x＜e^x
当x=0时，上述不等式显然成立，
故只需考虑x∈（0，2]的情况．
将（1+a）x＜e^x变形为a＜$\frac{{e}^{x}}{x}$-1，
令g（x）=＜$\frac{{e}^{x}}{x}$-1，则g′（x）=$\frac{（1-x）{e}^{x}}{{x}^{2}}$
令g′（x）＞0，解得x＞1；令g′（x）＜0，解得x＜1．
从而g（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增．
所以，当x=1时，g（x）取得最小值e-1，从而，
所求实数a的取值范围是（-∞，e-1）

点评 本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及恒成立问题，一般恒成立求参数问题常常将参数进行分离，转化成研究已知函数在某个区间上的最值问题，考查了划归与转化的思想，属于中档题．