Question

16．已知圆C：（x+1）²+y²=25，定点A（1，0），M为圆上的一个动点，连接MA，作MA的垂直平分线交半径MC于P，当M点在圆周上运动时，点P的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{25}{4}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{21}{4}}=1$．

Answer 1

分析 根据圆C的标准方程得到点C（-1，0），半径R=5．再由线段中垂线定理，可化简出PC+PA=5，从而得出点P的轨迹C是以C、A为焦点，2a=5的椭圆．最后根据椭圆的基本概念，即可得出点P的轨迹对应的椭圆的标准方程．

解答 解：∵圆C方程为：（x+1）²+y²=25，
∴点C（-1，0），半径R=5，
∵MA的垂直平分线交半径MC于P，
∴PM=PA，可得PC+PA=CM．
∵点M是圆C上的动点，∴CM长为圆C的半径5，
∴动点P满足PC+PA=5，点P的轨迹是以C、A为焦点，2a=5的椭圆．
可得a²=$\frac{25}{4}$，c=1，b²=a²-c²=$\frac{21}{4}$，
∴轨迹的方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{25}{4}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{21}{4}}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{\frac{25}{4}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{21}{4}}=1$．

点评 本题借助一个动点的轨迹，得到椭圆的第一定义，进而求出其轨迹方程．着重考查了线段的垂直平分线定理和椭圆的基本概念等知识点，属于基础题．