Question

15．设函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求实数k的值．
（2）若f（1）＜0，试判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）若f（1）=$\frac{3}{2}$，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在区间[1，∞）上的最小值为-2，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数，直接由f（0）=0求得k的值；
（2）把（1）求得的k的值代入函数解析式，判断其单调性，运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；
（3）由f（1）=$\frac{3}{2}$，求得a的值，化简函数g（x），令t=f（x）=2^x-2^-x换元，利用函数的单调性求得t的范围，然后对m分类求得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，
∴1-（k-1）=0，∴k=2，
经检验知：k=2满足题意；
（2）f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），
∵f（1）＜0，∴a-a^-1＜0，
又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，
设m＜n，则f（m）-f（n）=a^m-a^-m-（aⁿ-a^-n）
=（a^m-aⁿ）+（a^-n-a^-m）=（a^m-aⁿ）（1+$\frac{1}{{a}^{m}{a}^{n}}$），
由于m＜n，则a^m＞aⁿ＞0，即a^m-aⁿ＞0，
f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n），
则当0＜a＜1时，f（x）在R上单调递减．
（3）∵f（1）=$\frac{3}{2}$，
∴a-a^-1=$\frac{3}{2}$，即2a²-3a-2=0，
∴a=2或a=-$\frac{1}{2}$（舍去）．
∴g（x）=a^2x+a^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，f（x）=2^x-2^-x为增函数，
∵x≥1，∴t≥f（1）=$\frac{3}{2}$，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²（t≥$\frac{3}{2}$），
若m≥$\frac{3}{2}$，当t=m时，h（t）_min=2-m²=-2，∴m=2；
若m＜$\frac{3}{2}$，当t=$\frac{3}{2}$时，h（t）_min=$\frac{17}{4}$-3m=-2，解得m=$\frac{25}{12}$＞$\frac{3}{2}$，故舍去．
综上可知m=2．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查了函数的性质及其应用，考查了数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题．