Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{-x}-2\\;x≤0}\\{2ax-1\\;x＞0}\end{array}\right.$，（a是常数，且a＞0）．
（1）若在[$\frac{1}{2}$，+∞）上f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；
（2）求证：任意x₁＜0，x₂＜0，且x₁≠x₂，恒有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$．

Answer 1

分析 （1）f（x）＞0在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，则当x=$\frac{1}{2}$时，函数的最小值大于0，从而求得a的取值范围是a＞1；
（2）已知函数在（-∞，0）上的图象是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，可得结论．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{-x}-2\\;x≤0}\\{2ax-1\\;x＞0}\end{array}\right.$，（a是常数，且a＞0）的图象如下图所示：

（1）由图可知：f（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上为增函数，
若f（x）＞0在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，则f（$\frac{1}{2}$）=a-1＞0，
求得a的取值范围是a＞1；
证明：（2）已知函数函数在（-∞，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，
所以任取两点连线应在图象的上方，
即任意x₁＜0，x₂＜0，且x₁≠x₂，恒有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$．

点评 利用函数的图象研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的最值是常用的方法，解答本题的关键是图象法．