题目内容
20.已知单位向量$\overrightarrow{e}$与向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$满足:|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$|=|$\overrightarrow{a}$|,($\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$)•($\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{e}$)=0,对每一个确定的向量$\overrightarrow{a}$,都有与其对应的向量$\overrightarrow{b}$满足以上条件,设M,m分别为|$\overrightarrow{b}$|的最大值和最小值,令t=M-m,则对任意的向量$\overrightarrow{a}$,实数t的取值范围是 ( )A. | [0,1] | B. | [0,$\frac{1}{2}$] | C. | [$\frac{1}{2}$,+∞) | D. | [1,+∞) |
分析 设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{e}$,$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$,C为AD的中点,即有$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$,$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{e}$,运用向量垂直的条件,结合圆的知识,可得M=OC+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|,m=OC-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|,再由三角形的三边关系,即可得到所求范围.
解答 解:设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{e}$,$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$,C为AD的中点,
即有$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$,$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{e}$,
由($\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$)•($\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{e}$)=0,可得BA⊥DB,
即有B的轨迹为以AD的中点C为圆心,半径为$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|的圆,
即有M=OC+$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|,m=OC-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|,
则t=M-m=|$\overrightarrow{a}$|,
由OAD中,2|$\overrightarrow{a}$|≥1,解得|$\overrightarrow{a}$|≥$\frac{1}{2}$,
即t≥$\frac{1}{2}$.
故选:C.
点评 本题考查向量的三角形法则,考查点与圆的位置关系,及最值的求法,考查运算能力,属于中档题.
A. | b≥0 | B. | b≤0 | C. | b>0 | D. | b<0 |
A. | $\frac{3}{4}$ | B. | $\frac{4}{3}$ | C. | $\frac{2}{5}$ | D. | $\frac{5}{2}$ |