Question

9．己知点P（$\frac{5}{2}$，b）为椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的点，F₁、F₂是椭圆的左、右焦点，Q在线段F₁P上且|PQ|=|PF₂|，$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=λ$\overrightarrow{QP}$，则λ的值是（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{2}{5}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 点P（$\frac{5}{2}$，b）为椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的点，代入解得b．取P$（\frac{5}{2}，\frac{3\sqrt{3}}{2}）$．可得|PF₁|=2×5-|PF₂|．再利用$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=λ$\overrightarrow{QP}$，即可得出λ．

解答 解：∵点P（$\frac{5}{2}$，b）为椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的点，
∴$\frac{25}{4×25}+\frac{{b}^{2}}{9}=1$，
解得b=$±\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∴P$（\frac{5}{2}，±\frac{3\sqrt{3}}{2}）$．
取P$（\frac{5}{2}，\frac{3\sqrt{3}}{2}）$．
F₁（-4，0），F₂（4，0）．
|PF₂|=$\sqrt{（\frac{5}{2}-4）^{2}+（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=3．
|PF₁|=2×5-3=7．
∴|PQ|=$\frac{3}{7}$|PF₁|．
∵$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=λ$\overrightarrow{QP}$，
则λ=$\frac{4}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、两点之间的距离公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．