Question

【题目】已知椭圆经过点,离心率为，点坐标原点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的左焦点任作一条不垂直于坐标轴的直线，交椭圆于两点，记弦的中点为，过作的垂线交直线于点，证明：点在一条定直线上.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析：（1）根据已知列式，可求解.

(2) 联立与得中点坐标，求得直线，再联立方程组，可得，所以点在定直线上.

试题解析：(1)因为，所以，从而，椭圆的方程为.

(2)设，联立与，可得，所以，设，则，所以，直线，联立方程组，解得，所以点在定直线上.

点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.